拟合值和残差正交（拟合度和残差正交性的探讨）

拟合度和残差正交性的探讨

背景介绍：

在数理统计中，对于一个模型，我们希望通过估计参数来拟合数据，在拟合好的过程中，必须考虑拟合度和残差正交性的问题。

拟合度的意义与计算：

拟合度是指拟合出来的模型与原来的数据之间的符合程度。这个程度可以用误差平方和进行计算。误差平方和越小，说明拟合度越高。

拟合度的计算公式为：

$$\ext{Fit} = 1-\\frac{\\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\\hat{y}_{i})^2}{\\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\\bar{y})^2}$$

其中，$y_{i}$表示实际数据，$\\hat{y}_{i}$表示拟合出来的数据，$\\bar{y}$表示实际数据的平均值。显然，$Fit$的取值范围为$[0,1]$。

残差正交性的意义与计算：

在数理统计学中，残差是指数据拟合模型后，实际观测值与拟合值之间的偏差，通常用统计量来表示残差。残差正交性的意义是：样品的残差与回归平面的法向量正交。残差正交的条件是在保证拟合度最优的情况下，使残差的方差最小化。

拟合值和残差正交的问题可以用线性代数中的投影向量来表示。设$\extbf{y}$为$n$维样本数据向量，$\extbf{X}$为$n\imes p$维的模型矩阵，$\\hat{\extbf{y}}=\extbf{Xb}$为$n$维的拟合值向量，$e=\extbf{y}-\\hat{\extbf{y}}$为$n$维残差向量。则残差方差为$e^{T}e$，投影向量方程为：

$$\\min_{\extbf{a}}(||\extbf{y}-\extbf{Xa}||^2)$$

其中，$\extbf{a}$为拟合系数向量。

拟合度和残差正交性的权衡：

拟合度和残差正交性是两个重要的指标，但是两者并不总是可以同时优化。在实际问题中，我们应该根据实际情况来进行取舍。

如果数据形状比较接近线性，那么我们可以先优化拟合度，再根据拟合度的结果来处理残差正交性问题。

如果数据形状比较复杂，残差正交性更加重要。我们可以利用残差正交性来处理特殊形状的数据，从而得到更加精确的拟合结果。

结论：

在实际问题中，拟合度和残差正交性的权衡是必须要考虑的问题。在实际运用中，我们需要根据实际问题的具体情况来确定优先考虑哪一个指标，从而得到更加准确的拟合结果。